ОПТИМИЗАЦИЯ КОНТУРА ТЕЛЕНАВЕДЕНИЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ | Авиация - коммерческая, гражданская, спецавиация...

3.1. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С УЧЕТОМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОГРАНИЧЕНИЯ

Рассмотрим задачу управления линейным объектом

‘-g — = i4* + J? n+& x(t0)=x0, (3.1)

где х, и, | — векторы размерности (nXl), (гX1) и (пХ1) соответственно; А и В — зависящие от времени матрицы (пХп) и (пХг); ЛЩ(0]=0,

A*U(WW]=*«(*i. (3.2)

где5(^) —матрица (лХл).

В системе телеуправления уравнение (3.1) описывает автономный контур и уравнение связи, |(^)—ошибки передачи команд и возмущения, действующие на наводящийся объект.

Управление u(t) осуществляется на основе наблюдений вектора z(t) размерности (/X1)

zit)=C(t)’x(t)+n(t), (3.3)

где С — переменная матрица (/Хл), М[«(/)]=0,

М [п &) и* (*,)]=N (/J 8 (t, — *,). (3.4)

Предположим также, что х0, n(t) и %(t) независимы и подчиняются нормальному закону распределения.

Управление u(t) будем считать оптимальным, если оно минимизирует функционал

/*=ЩхТЮРх(Ц]

и удовлетворяет ограничению

Здесь Р—положительная матрица (пХп), a д(і)—положительно-определенная матрица (ґХг).

Подпись: Согласно (2.46) Н(г, ф, в, /)=фг(<)[**+ 9e + 5H-l+i«re«* (3.7) Применим для определения управления метод стохастического принципа максимума, изложенный в гл. II.

Постоянная величина фп+2 равна нулю, если оптимальное управление удовлетворяет условию (3.6) со знаком строгого неравенства, и фп+г^О, если определенное при ^„+2=0 управление не удовлетворяет (3.6). В последнем случае г|)п+2 определяется из условия (3.6) со знаком равенства.

Согласно выражению (2.33)

_ А*Ш *(У= -2Р{К) x{tu). (3. 8)

Решение этого уравнения

<Ht)=-2KT(tB, t)P(tB)x(Q, (3.9)

где K(tB, t)—матрица импульсных переходных функций уравнения (3.1):

dK(t г) т); т) = £# (3.10)

Здесь Е — единичная матрица (пХп).

Управление u(t), максимизирующее условное математическое ожидание от уравнения (2.47), может быть определено из условия:

(3.11)

поскольку область определения u(t) не ограничена. Так как управление является функцией наблюдений «=«(*;*, t), то оно является неслучайным по отноше-

нию к математическому ожиданию в выражении Выполняя дифференцирование, получим

u(t)=^-^BrKT(tR

Фл+г

(3.12)

|*(

где Q~l(t) — матрица, обратная q(t).

Из уравнения (3.12) следует, что оптимальное управление, минимизирующее функционал (3.5), пропорционально в каждый момент времени оценке значения координат в конечный момент управления на основе наблюдений до момента t реализации вектора z(t).

Воспользовавшись уравнением (3.1), мы можем выразить оценку конечного значения фазовой координаты *(^в) через оценку ее текущего значения x(t).

Используя определение матрицы импульсных переходных функций K(tB, t) из уравнения (3.10), запишем

‘в

*(*,)=*(*„, *)*(*)+[*(/„, т)[9я(т)+$т)]Л. (3. 13)

Применяя к обеим частям этого равенства оператор условного математического ожидания и учитывая, что

М 0(*) 1^*1 = 0, %>t (3.14)

м[й(т)ІгУ=<?(С *)м[r(OI*!;]; т>*> (3-15)

где обозначено

G{i„ т) = -^W-BriFfr, r)P(tB), (3. 16)

получим

М [х (О I г;] =g~* (Ів, t) к (tB, t) M [x (і) I vj. (3.17) Здесь g~x(tB, /) — матрица, обратная g(tB, t):

g[tB, t)=E.~ j K(t„ t t) dx. (3.18)

Подставляя выражение (3.15) в уравнение (3.12) и учитывая соотношение (3.16), получим’ окончательно

Таким образом, управление в каждый момент времени пропорционально оценке текущих фазовых координат объекта.

Постоянная фп+2<С0 определяется из условия (3.6), взятого со знаком равенства.

Пример 3.1. Пусть объект управления описывается системой уравнений

= И + С*, Xi (*о) = Xiq)

Подпись: (3. 20) dx 2

— =xh x2(t0) = x20.

Рассматриваемый случай соответствует контуру телеуправления, в котором автономный контур принят безынерционным, а уравнение связи является двойным интегрирующим звеном (см. 1.4).

Управление осуществляется на основе измерения линейного отклонения х2:

г = х2 (0 + п it)

В качестве критерия точности примем средний квадрат пролета в момент встречи

R (tB) = х2 (tB) + Axi (tB), A = const >0 (3.21)

и в функционале (3.5) матрица будет иметь вид

Д2 А

А 1

В качестве ограничения рассмотрим математическое ожидание интеграла от квадрата управления, что эквивалентно £>=1 в (3.6). Определим оптимальный закон управления u(t).